Probabilités et incertitude

La loi normale et les queues épaisses

L'homme le plus grand jamais mesuré faisait une fois et demie la taille moyenne. L'homme le plus riche du monde possède des millions de fois la fortune moyenne. Ces deux grandeurs n'obéissent pas au même type de hasard, et les confondre conduit à de graves erreurs de prévision. Cette fiche apprend à les distinguer.

L'idée en bref

La loi normale, ou courbe en cloche, décrit les grandeurs dont les valeurs se regroupent autour d'une moyenne et dont les écarts importants deviennent très vite rarissimes. Elle se résume à deux nombres : la moyenne et l'écart type, qui mesure la dispersion habituelle autour de cette moyenne. Environ 68 % des valeurs se trouvent à moins d'un écart type de la moyenne, 95 % à moins de deux et 99,7 % à moins de trois.

La courbe apparaît chez Abraham de Moivre en 1733, puis chez Carl Friedrich Gauss en 1809 à propos des erreurs de mesure en astronomie. Pierre-Simon de Laplace démontre vers 1810 pourquoi elle est si fréquente : quand une grandeur résulte de l'addition de nombreuses petites causes indépendantes, elle suit à peu près une loi normale. C'est le théorème central limite.

D'autres grandeurs ont des « queues épaisses » (fat tails) : les valeurs extrêmes y sont rares, mais beaucoup moins rares que ne le prévoit la courbe en cloche, et elles sont assez grandes pour dominer le total. Vilfredo Pareto l'observe pour les revenus dès 1896, et le mathématicien Benoît Mandelbrot le montre en 1963 pour les variations des prix du coton. Nassim Taleb a popularisé la distinction avec deux pays imaginaires, le « Médiocristan », où aucun individu ne pèse sur la moyenne, et l'« Extrêmistan », où un seul peut tout changer.

Les deux familles de lois sont des objets mathématiques bien établis. La difficulté, dans la pratique, est de savoir à laquelle on a affaire.

Mille personnes dans un stade

La différence vient du mécanisme. La taille résulte de l'addition de nombreux facteurs génétiques et environnementaux, dont aucun ne domine, et le corps impose des limites physiques. La fortune se constitue par multiplication : un capital rapporte en proportion de ce qu'il est déjà, et rien ne borne le résultat. Les ventes de livres, la population des villes, les audiences des vidéos en ligne et les dégâts causés par les catastrophes naturelles se comportent de la même façon. Une minorité de cas y représente l'essentiel du total.

Dans ce second monde, la moyenne renseigne mal. La médiane, c'est-à-dire la valeur qui partage le groupe en deux moitiés égales, décrit mieux la situation typique : c'est pourquoi les statisticiens préfèrent parler de salaire médian ou de patrimoine médian.

Le jour où la Bourse a fait l'impossible

L'erreur la plus coûteuse consiste à appliquer la courbe en cloche à une grandeur qui ne la suit pas. La finance en a donné l'exemple le plus étudié.

Le krach montre que le modèle était faux pour les valeurs extrêmes. Mandelbrot le disait depuis 1963 : les variations de prix ont des queues épaisses, et les très grandes variations, que la courbe en cloche traite comme impossibles, font partie du fonctionnement normal des marchés.

À l'école, la courbe en cloche suscite une erreur plus modeste. Les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart type 15 parce que les tests sont construits pour cela : environ 2 % de la population dépasse 130. Mais rien n'oblige les notes d'une classe à dessiner une cloche. Si tous les élèves ont bien appris la leçon, il est normal que tous aient une bonne note.

Quand s'en servir

Avant de raisonner sur une moyenne ou de prévoir un risque, demandez-vous dans quel monde se trouve la grandeur étudiée.

• Un seul cas peut-il peser autant que tous les autres réunis ? Si oui, vous êtes du côté des queues épaisses.
• La grandeur est-elle bornée par une contrainte physique (taille, durée de vie, heures dans une journée) ou libre de se multiplier (argent, audience et contagion) ?
• Le plus grand cas observé jusqu'ici est-il un plafond plausible, ou seulement le record provisoire ?

Limites et pièges

Le premier piège est de voir des queues épaisses partout. La loi normale reste un excellent outil pour les erreurs de mesure, les caractéristiques physiques et les moyennes d'échantillons. C'est elle qui justifie les marges d'erreur des sondages.

Le deuxième est que la distinction est difficile à établir avec peu de données. Par définition, les événements extrêmes sont rares. Une grandeur à queue épaisse peut sembler sage pendant des années, jusqu'au jour où survient le cas qui change tout. L'absence d'extrêmes dans le passé observé ne prouve donc pas que la courbe en cloche s'applique.

Le troisième est de croire que « queues épaisses » désigne une loi unique. Le terme recouvre une famille de lois très diverses, dont les lois de puissance de Pareto ne sont qu'un cas. Savoir qu'une grandeur a une queue épaisse ne permet pas de calculer la probabilité du prochain extrême. Cela invite surtout à la prudence : garder des marges et ne pas s'exposer à une perte qui serait fatale.