Sciences et mathématiques

Le principe de Pareto et les lois de puissance

Dans votre placard, quelques vêtements sortent chaque semaine et beaucoup d'autres ne sortent presque jamais. Dans une classe, quelques élèves posent la plupart des questions. Cette inégalité de répartition porte un nom, le principe de Pareto, ou règle des 80/20. Cette fiche explique d'où il vient, ce qu'il affirme exactement, et pourquoi il faut le manier comme un ordre de grandeur plutôt que comme une loi.

L'idée en bref

Le principe de Pareto affirme que, dans beaucoup de situations, une petite partie des causes produit une grande partie des effets : environ 20 % des causes pour 80 % des effets, selon la formule habituelle. Il s'agit d'une régularité observée, pas d'un théorème.

L'économiste italien Vilfredo Pareto a montré, dans son Cours d'économie politique (1896-1897), que les revenus et les fortunes se répartissaient de façon très inégale, selon une forme mathématique régulière et semblable d'un pays à l'autre. On lui attribue couramment, d'après un texte de 1906, le constat qu'environ 20 % des Italiens possédaient 80 % des terres. Pareto n'a toutefois jamais énoncé de « règle des 80/20 » générale. C'est l'ingénieur américain Joseph Juran qui, à partir des années 1940, a étendu l'idée au contrôle de la qualité, en distinguant le petit nombre de causes essentielles et le grand nombre de causes secondaires, et qui lui a donné le nom de Pareto. Juran est lui-même revenu sur cette attribution dans un article de 1975 au titre explicite, « The Non-Pareto Principle; Mea Culpa ».

Derrière la règle se trouve une famille de distributions statistiques, les lois de puissance, dans lesquelles les très grandes valeurs sont rares mais pèsent énormément dans le total.

Ce que disent vraiment les deux chiffres

Deux malentendus sont fréquents. Le premier est de croire que 80 et 20 doivent faire 100. Les deux nombres mesurent des choses différentes, les effets et les causes, et rien n'oblige leur somme à valoir 100 : une répartition peut être de 70/30, de 90/10 ou de 95/20. Le second est de prendre ces chiffres au pied de la lettre. « 80/20 » signifie seulement que la répartition est très déséquilibrée.

Quand la répartition suit vraiment une loi de puissance, le déséquilibre se répète à l'intérieur du groupe de tête. Si 20 % des causes font 80 % des effets, alors 20 % de ces 20 %, soit 4 % des causes, font 80 % de ces 80 %, soit 64 % des effets. C'est ce qui distingue ces distributions de la courbe en cloche, où les valeurs se regroupent autour de la moyenne. La taille des adultes suit à peu près une courbe en cloche, et personne ne mesure dix fois la taille moyenne. Les fortunes, les ventes de livres et la population des villes suivent plutôt des distributions très étalées, où quelques cas dépassent la moyenne de plusieurs milliers de fois.

Les mots d'une langue : une loi de puissance à l'école

Le linguiste américain George Kingsley Zipf a popularisé, dans les années 1930 et 1940, une observation déjà faite avant lui, notamment par le sténographe français Jean-Baptiste Estoup en 1916 : dans un texte long, le mot le plus fréquent apparaît environ deux fois plus souvent que le deuxième, trois fois plus que le troisième, et ainsi de suite. Cette « loi de Zipf » est une loi de puissance.

Quand s'en servir

Le principe est utile chaque fois que vous disposez d'un temps limité et d'une longue liste : erreurs à corriger, chapitres à réviser, clients à suivre ou dépenses à réduire. Il invite à trier avant d'agir :

• Si je classe les éléments du plus important au moins important, la tête de liste pèse-t-elle vraiment plus que le reste ?
• Quelles sont les quelques causes qui expliquent la plupart de mes difficultés ?
• Ai-je mesuré cette répartition, ou est-ce que je la suppose ?
• Que perdrais-je en négligeant le reste de la liste ?

Limites et pièges

La première limite est que toutes les répartitions ne sont pas de ce type. Beaucoup de grandeurs se distribuent de façon équilibrée, et supposer un 80/20 sans avoir compté conduit à négliger des choses qui comptent. Même quand une distribution paraît très inégale, il n'est pas acquis qu'elle suive une loi de puissance au sens mathématique. Les statisticiens Aaron Clauset, Cosma Shalizi et Mark Newman ont montré en 2009 qu'une bonne partie des lois de puissance annoncées dans la littérature scientifique ne résistaient pas à un test rigoureux, et que d'autres distributions s'ajustaient souvent aussi bien.

La deuxième limite concerne le « reste ». Les 80 % de causes jugées secondaires ne sont pas inutiles. Juran lui-même a fini par corriger sa formule pour parler du grand nombre « utile » plutôt que « négligeable ». Un avion dont on aurait traité les principaux risques, mais pas les autres, ne serait pas sûr. Dans un apprentissage, les derniers pour cent font souvent la différence entre un niveau correct et la maîtrise.

La troisième est l'usage du principe comme recette de productivité, popularisé par des ouvrages comme Le Principe 80/20 de Richard Koch (1997). Promettre « 80 % des résultats avec 20 % des efforts » suppose que l'on sache à l'avance quels sont les bons 20 %, ce qui est rarement le cas. On ne les identifie souvent qu'après coup, une fois tout le travail fait. Le principe décrit une répartition observée, il ne dit pas comment la prévoir.