Probabilités et incertitude

Le raisonnement bayésien : réviser ses croyances à la mesure des preuves

Un test de dépistage fiable à 90 % revient positif. Quelle est la probabilité que la personne soit vraiment malade ? La plupart des gens répondent « 90 % », alors que la bonne réponse peut être six fois plus faible. Cette fiche explique pourquoi, et présente la règle qui permet de réviser correctement une croyance devant une information nouvelle.

L'idée en bref

Raisonner de façon bayésienne, c'est partir d'une estimation initiale (ce que l'on croyait avant), puis la corriger en fonction de la force de l'indice nouveau. Une croyance est ajustée, plus ou moins selon ce que vaut la preuve, au lieu d'être conservée telle quelle ou abandonnée d'un coup.

La règle porte le nom de Thomas Bayes, pasteur et mathématicien anglais mort en 1761. Son ami Richard Price a présenté son essai à la Royal Society en 1763, après sa mort, et l'a fait publier dans les Philosophical Transactions. Pierre-Simon de Laplace a retrouvé le résultat de son côté à partir de 1774 et lui a donné sa forme générale. Le théorème de Bayes est un résultat mathématique démontré. Son emploi comme guide du jugement quotidien est une transposition raisonnable, à condition de se rappeler que nos estimations de départ sont souvent approximatives.

En texte simple, le théorème s'écrit ainsi :

P(hypothèse sachant l'indice) = P(indice sachant l'hypothèse) × P(hypothèse) / P(indice)

P(hypothèse) est la probabilité de départ, appelée probabilité a priori. Le résultat est la probabilité révisée, dite a posteriori.

Le test médical positif

L'exemple classique est celui du dépistage. Il montre que la fiabilité d'un test ne suffit pas pour interpréter son résultat : il faut aussi connaître la fréquence de la maladie dans la population testée.

Le résultat surprend parce que nous confondons deux questions. « Quelle est la probabilité d'un test positif si l'on est malade ? » (90 %) n'est pas la même question que « quelle est la probabilité d'être malade si le test est positif ? » (15 %). Comme les personnes saines sont 99 fois plus nombreuses que les malades, même un petit taux d'erreur produit chez elles beaucoup de faux positifs.

Le psychologue Gerd Gigerenzer a montré, avec Ulrich Hoffrage en 1995, que ce raisonnement devient beaucoup plus facile quand on compte des personnes (« 90 sur 585 ») au lieu de manipuler des pourcentages. C'est la méthode suivie ici, et elle mérite d'être retenue.

La force d'un indice

Dans la vie courante, on dispose rarement de chiffres exacts, mais la logique reste la même. Un indice doit faire bouger une croyance dans la mesure où il est beaucoup plus probable si l'hypothèse est vraie que si elle est fausse. Un indice que l'on observerait presque aussi souvent dans les deux cas n'apprend presque rien.

Le même raisonnement s'applique à l'enseignant qui voit un élève sérieux rendre un devoir raté. Un seul devoir est un indice faible contre une année de travail régulier, et il ne justifie qu'une révision modeste de l'opinion. Trois devoirs ratés de suite seraient un indice bien plus fort.

Quand s'en servir

Le raisonnement bayésien est utile chaque fois qu'une information nouvelle arrive et que vous vous demandez quoi en conclure : un résultat d'examen médical, un témoignage, une rumeur, une étude citée dans la presse, une première impression sur un candidat. Trois questions suffisent à le mettre en œuvre.

• Qu'est-ce que je croyais avant, et sur quelle base ? C'est la probabilité de départ.
• Cet indice est-il beaucoup plus probable si mon hypothèse est vraie que si elle est fausse ?
• De combien dois-je donc réviser : un peu, beaucoup ou pas du tout ?

Limites et pièges

La première difficulté est le choix de la probabilité de départ. Quand elle repose sur des statistiques (la fréquence d'une maladie), elle est solide. Quand elle exprime une simple opinion, deux personnes de bonne foi peuvent partir de points différents et aboutir à des conclusions différentes. La règle garantit seulement que des preuves abondantes finissent par rapprocher leurs positions.

La deuxième est l'excès dans un sens ou dans l'autre. Certains ne révisent presque jamais et écartent ce qui les contredit. D'autres changent d'avis à chaque information frappante et oublient ce qu'ils savaient. La règle de Bayes demande de tenir ensemble la connaissance antérieure et l'indice nouveau.

La troisième est une probabilité de départ fixée à 0 ou à 1. Si l'on tient une hypothèse pour absolument impossible ou absolument certaine, aucune preuve ne peut plus rien changer : le produit par zéro reste zéro. Il est donc prudent de garder une petite place au doute.

Enfin, l'exemple du second test suppose que les deux tests se trompent indépendamment l'un de l'autre. Si la même cause produit le même faux positif deux fois, le second test apprend peu. De même, dix articles qui reprennent une seule source ne valent pas dix preuves.