Probabilités et incertitude
L'espérance mathématique
Faut-il répondre au hasard à une question de QCM quand une mauvaise réponse retire des points ? Faut-il prendre l'extension de garantie que propose le vendeur ? Ces deux questions se traitent avec le même outil, vieux de plus de trois siècles : l'espérance mathématique, qui combine ce que l'on peut gagner ou perdre avec les chances que cela arrive.
L'idée en bref
L'espérance mathématique d'un choix incertain est la moyenne de ses résultats possibles, chacun étant compté en proportion de sa probabilité. On multiplie chaque gain ou chaque perte par sa probabilité, puis on additionne :
Espérance = (probabilité 1 × résultat 1) + (probabilité 2 × résultat 2) + …
Le résultat indique ce que l'on obtiendrait en moyenne si l'on répétait le même choix un très grand nombre de fois. Une espérance positive désigne un pari favorable à la longue, et une espérance négative un pari défavorable.
L'idée apparaît en 1654 dans la correspondance de Blaise Pascal et de Pierre de Fermat sur le partage des mises d'un jeu interrompu. Le Néerlandais Christiaan Huygens la formule dans le premier traité imprimé de calcul des probabilités, en 1657. C'est une définition mathématique, donc un outil solide. Les difficultés viennent de son application : il faut connaître les probabilités, et il faut que la moyenne soit bien la grandeur qui compte.
Un pari se juge sur sa moyenne à long terme
Les jeux de casino offrent l'exemple le plus net, parce que toutes les probabilités y sont connues.
Le calcul éclaire aussi des décisions d'achat. Supposons qu'un vendeur propose une extension de garantie de 60 € pour un lave-linge, que la probabilité d'une panne pendant la période couverte soit de 8 % et qu'une réparation coûte en moyenne 250 €. Ces chiffres sont choisis pour l'illustration. Le coût moyen des pannes vaut 0,08 × 250 = 20 €. La garantie est donc vendue trois fois ce qu'elle rapporte en moyenne à l'acheteur. Si une dépense imprévue de 250 € ne met pas votre budget en danger, mieux vaut s'en passer.
Le QCM à points négatifs
Le même raisonnement répond à une question que se posent beaucoup d'élèves et d'étudiants.
Le mot « en moyenne » a son importance. Sur une seule question, Inès peut très bien perdre 1/3 de point. Sur les quarante questions d'une épreuve, les écarts se compensent en grande partie et le résultat se rapproche de l'espérance. Plus les répétitions sont nombreuses, plus l'espérance décrit fidèlement ce qui va se passer.
Quand s'en servir
L'espérance est utile chaque fois que vous comparez des options dont les résultats sont incertains et que la décision se répète, ou ressemble à beaucoup d'autres que vous prendrez.
- Pour les petites décisions récurrentes (assurances facultatives, garanties, jeux, promotions sous condition), elle montre de quel côté se trouve l'avantage.
- Pour un choix qui comporte plusieurs issues, elle oblige à écrire chaque issue, sa probabilité et son enjeu, ce qui suffit souvent à clarifier la décision.
- Pour un événement peu probable mais lourd de conséquences, elle rappelle qu'une petite probabilité multipliée par un grand enjeu peut peser davantage qu'un événement fréquent et bénin.
Limites et pièges
La limite principale est que l'espérance décrit une moyenne sur un grand nombre de répétitions. Pour un choix unique, ou pour un choix dont une issue vous élimine du jeu, elle peut tromper. C'est pourquoi il est raisonnable d'assurer sa maison contre l'incendie, alors que l'espérance de ce contrat est négative pour l'assuré : la perte possible est une ruine, et aucune moyenne ne la répare. La fiche sur l'ergodicité développe ce point.
Un problème célèbre montre la même limite. Dans le jeu dit de Saint-Pétersbourg, posé par Nicolas Bernoulli en 1713, on lance une pièce jusqu'à obtenir face, et le gain double à chaque lancer supplémentaire. L'espérance de ce jeu est infinie, et pourtant personne ne paierait une fortune pour y jouer. Son cousin Daniel Bernoulli propose en 1738 une explication : ce qui compte n'est pas la somme gagnée mais son utilité, et mille euros de plus n'ont pas la même valeur pour un pauvre et pour un riche.
Deuxième piège : les probabilités sont rarement connues hors des jeux de hasard. Dans la vie réelle, on les estime, et une espérance calculée sur des probabilités fantaisistes donne une fausse impression de rigueur. Le danger est grand avec les probabilités minuscules associées à des enjeux gigantesques, car une petite erreur d'estimation change alors tout le résultat.
Troisième piège : l'espérance ignore la dispersion. Deux placements peuvent avoir la même espérance, l'un avec des résultats très réguliers, l'autre avec des écarts énormes. Il faut regarder aussi l'étendue des issues possibles, et en particulier la pire.
Enfin, tout ne se chiffre pas. L'espérance exige une unité commune, le plus souvent l'argent, alors que beaucoup d'enjeux (la santé, une relation et le temps) s'y prêtent mal.
Pour aller plus loin
- L'ergodicité et le risque de ruine — pourquoi une espérance positive ne protège pas celui qui joue tout à chaque fois.
- La loi des grands nombres et le piège des petits échantillons — ce qui justifie de raisonner sur la moyenne à long terme.
- L'arbre de décision — pour dessiner les issues et calculer l'espérance de chaque branche.
- L'aversion à la perte — pourquoi nous refusons parfois des paris favorables.
Sources principales : correspondance de Blaise Pascal et Pierre de Fermat (1654) ; Christiaan Huygens, De ratiociniis in ludo aleae (1657) ; Daniel Bernoulli, « Specimen theoriae novae de mensura sortis » (1738) ; Ian Hacking, L'Émergence de la probabilité (1975, trad. 2002).