Décision et action

L'arbre de décision

Faut-il louer un chapiteau pour la kermesse, au cas où il pleuvrait ? Faut-il répondre à cet appel d'offres qui demande des semaines de travail ? Ces questions mêlent ce que vous choisissez et ce que vous ne maîtrisez pas. L'arbre de décision est un dessin qui sépare les deux, et qui permet de calculer ce que vaut chaque option.

L'idée en bref

Un arbre de décision représente une situation de choix sous la forme de branches qui se lisent de gauche à droite. Il comporte deux sortes de nœuds. Les nœuds de décision, dessinés par convention sous forme de carrés, sont les moments où vous choisissez. Les nœuds de hasard, dessinés sous forme de ronds, sont les moments où le monde choisit : chaque branche qui en part porte une probabilité, et les probabilités issues d'un même rond font un total de 100 %. Au bout de chaque chemin figure un résultat, exprimé en argent, en temps ou dans une autre unité.

L'arbre se dessine de gauche à droite et se calcule de droite à gauche. À chaque nœud de hasard, on calcule l'espérance, c'est-à-dire la moyenne des résultats pondérée par leurs probabilités. À chaque nœud de décision, on garde la branche qui a la meilleure valeur. On remonte ainsi jusqu'au premier choix.

L'outil vient de l'analyse de la décision, une discipline qui s'est constituée dans les années 1960 aux États-Unis, à la rencontre des statistiques et de la gestion. Howard Raiffa, professeur à Harvard, lui a donné son manuel de référence avec Decision Analysis (1968), et Ronald Howard, à Stanford, a contribué à lui donner son nom. Le calcul lui-même est un résultat mathématique simple et sûr. Ce qui est fragile, ce sont les chiffres que l'on y met.

Dessiner, chiffrer, remonter

Cet exemple montre le principal service que rend l'arbre. Il ne fournit pas seulement une réponse, il indique à quelles conditions la réponse change. Refaire le calcul avec d'autres chiffres s'appelle une analyse de sensibilité, et c'est souvent la partie la plus instructive.

Quand les décisions s'enchaînent

L'arbre devient vraiment utile quand une décision en prépare une autre. Il permet alors de voir ce que vaut la possibilité de s'arrêter en chemin.

Quand s'en servir

L'arbre convient aux décisions qui comptent, qui comportent peu d'options et dont les issues peuvent être chiffrées au moins grossièrement : un investissement, une assurance, un choix de traitement discuté avec un médecin, ou une stratégie d'examen. Il est utile aussi sans aucun chiffre, comme simple dessin, parce qu'il force à répondre à trois questions que l'on mélange d'habitude.

• Qu'est-ce qui dépend de moi, et qu'est-ce qui dépend du hasard ou des autres ?
• Dans quel ordre les choses se passeront-elles, et que saurai-je au moment de chaque choix ?
• Quelle est la pire branche, et puis-je la supporter ?

Limites et pièges

La première limite tient aux probabilités. Dans la vie courante, personne ne sait si les chances de remporter un marché sont de 25 % ou de 15 %. Le calcul donne un résultat à l'euro près, et cette précision n'est qu'apparente si les données de départ sont des estimations faites à la louche. La parade consiste à faire varier les chiffres et à regarder si la conclusion tient.

La deuxième limite tient à l'espérance elle-même. Elle décrit ce que l'on obtient en moyenne quand on répète la décision de nombreuses fois. Pour une décision unique, dont l'une des branches mène à la ruine, la moyenne est un mauvais guide : on ne rejoue pas une partie que l'on ne peut plus se payer. Les analystes de la décision remplacent alors les euros par une « utilité » qui tient compte de l'aversion au risque, ce qui complique nettement l'exercice.

La troisième est que l'arbre ne contient que les branches que l'on a pensé à dessiner. L'événement imprévu n'y figure pas, par définition. Les arbres grossissent en outre très vite : trois choix successifs à trois branches, suivis chacun d'un hasard à trois issues, donnent déjà des centaines de chemins. Tout ne se ramène pas non plus facilement à une seule unité, et mettre sur une même ligne de l'argent, de la santé et du temps passé en famille demande des jugements que le calcul ne fait pas à votre place.

Il existe enfin un homonyme. En informatique et en statistique, on appelle aussi « arbre de décision » une méthode d'apprentissage automatique qui classe des données par une suite de questions. Elle partage le dessin, mais pas l'objet.