Probabilités et incertitude
L'ergodicité et le risque de ruine
On vous propose un jeu de pile ou face : face, votre fortune augmente de 50 % ; pile, elle diminue de 40 %. Le gain l'emporte sur la perte, et le jeu paraît excellent. Pourtant, celui qui y joue cent fois de suite avec toute sa fortune est presque sûr de finir ruiné. Cette fiche explique ce résultat et la notion, au nom un peu rébarbatif, qui en rend compte.
L'idée en bref
Il y a deux manières de calculer la moyenne d'un pari. On peut faire jouer mille personnes une fois chacune et regarder leur résultat moyen : c'est la moyenne du groupe. On peut aussi faire jouer une seule personne mille fois de suite et regarder ce qui lui arrive : c'est la moyenne dans le temps. Une situation est dite ergodique quand ces deux moyennes coïncident. Elle est non ergodique quand elles diffèrent, et dans ce cas ce qui est vrai du groupe ne l'est pas de l'individu.
Le mot vient de la physique. On l'attribue généralement à Ludwig Boltzmann, qui l'employait à la fin du XIXe siècle pour l'étude des gaz, et les mathématiciens George Birkhoff et John von Neumann en ont établi les théorèmes au début des années 1930. Son application aux décisions humaines est récente : elle a été défendue par le physicien Ole Peters, notamment dans un article de 2019, et popularisée par Nassim Taleb dans Jouer sa peau.
La partie mathématique est solide, et les calculs ci-dessous sont incontestables. L'ambition de Peters de refonder la théorie économique de la décision sur cette base est en revanche discutée, comme on le verra.
Le jeu qui enrichit la moyenne et ruine les joueurs
L'explication est que les gains et les pertes se multiplient au lieu de s'additionner. Ce qui compte alors pour un individu n'est pas la moyenne ordinaire des facteurs (1,05) mais leur moyenne géométrique, la racine carrée de 1,5 × 0,6, qui vaut environ 0,949. Chaque tour lui coûte en moyenne 5 % de sa fortune.
Le cas limite est la ruine. Dans une suite de multiplications, un seul zéro annule tout ce qui précède. Une comparaison aide à le voir : si cent personnes vont chacune une soirée au casino et que la vingt-huitième se ruine, la vingt-neuvième n'en est pas affectée. Si une seule personne y va cent soirs de suite et se ruine le vingt-huitième soir, il n'y a pas de vingt-neuvième soir. Un risque que l'on peut négliger pour un groupe devient presque certain pour celui qui le répète assez longtemps.
La solution consiste à ne pas tout miser, sans pour autant refuser le jeu. Le mathématicien John Kelly a montré en 1956 comment calculer la fraction à engager. Ici, en ne misant à chaque tour qu'un quart de sa fortune, le joueur multiplie son avoir par 1,125 ou par 0,9, soit 1,0125 tous les deux tours. Sa fortune typique après 100 tours passe alors de 100 € à environ 186 €. Le même jeu devient favorable pour l'individu dès qu'il garde une réserve.
La moyenne de la classe et l'élève
La même distinction s'applique, de façon plus large, chaque fois que l'on tire d'une statistique de groupe une conclusion sur un individu.
Des chercheurs en psychologie, comme Peter Molenaar dès 2004, ont souligné que beaucoup de résultats établis sur des groupes ne se transposent pas tels quels aux individus. C'est une raison de plus pour observer chaque élève dans la durée plutôt que de lui appliquer la moyenne.
Quand s'en servir
La question de l'ergodicité se pose chaque fois qu'un raisonnement « en moyenne » sert à justifier une décision que vous allez vivre seul et dans la durée.
- Le pire résultat possible m'élimine-t-il du jeu (ruine, accident grave, exclusion, épuisement) ? Si oui, la moyenne ne suffit pas.
- Vais-je répéter ce risque souvent ? Un danger de 1 % par essai devient probable sur cent essais : la probabilité d'y échapper cent fois n'est que de 37 % environ.
- La statistique que l'on me cite décrit-elle un groupe à un instant donné, ou le parcours d'individus suivis dans le temps ?
Limites et pièges
Le premier piège est d'en tirer une peur de tout risque. La leçon ne porte que sur les risques qui peuvent éliminer celui qui les prend. Pour les petits paris répétés et supportables, raisonner sur l'espérance reste correct.
Le deuxième tient au débat scientifique. Ole Peters soutient que la théorie économique classique a confondu les deux moyennes pendant trois siècles. Plusieurs économistes, dont Jason Doctor, Peter Wakker et Tong Wang dans une réponse publiée en 2020, jugent cette critique excessive. Ils rappellent que Daniel Bernoulli proposait dès 1738 de raisonner sur le logarithme de la fortune, ce qui conduit aux mêmes recommandations. Les calculs sont admis de tous, et c'est la nouveauté de l'idée qui est contestée.
Le troisième est un abus de vocabulaire. En mathématiques, l'ergodicité a une définition précise. Dans les essais grand public, le mot désigne plus lâchement toute situation où le groupe et l'individu divergent, et il vaut mieux préciser de quel écart on parle.
Pour aller plus loin
- L'espérance mathématique — la moyenne du groupe, et ce qu'elle vaut quand le choix se répète sans danger.
- La marge de sécurité et la redondance — la réserve qui permet de rester dans le jeu.
- Les intérêts composés — la multiplication des résultats quand elle joue en votre faveur.
- Jouer sa peau — l'autre grand thème du livre où Taleb expose cette idée.
Sources principales : Ole Peters, « The ergodicity problem in economics », Nature Physics (2019) ; Ole Peters et Murray Gell-Mann, « Evaluating gambles using dynamics », Chaos (2016) ; Jason Doctor, Peter Wakker et Tong Wang, « Economists' views on the ergodicity problem », Nature Physics (2020) ; John Kelly, « A new interpretation of information rate », Bell System Technical Journal (1956) ; Nassim Nicholas Taleb, Jouer sa peau (Les Belles Lettres, 2017) ; Peter Molenaar, « A manifesto on psychology as idiographic science », Measurement (2004).