Probabilités et incertitude

La régression vers la moyenne

Un élève rend un devoir catastrophique, se fait sermonner, et réussit mieux le suivant. Un autre obtient une note exceptionnelle, reçoit des félicitations, et fait moins bien ensuite. Il est tentant d'en conclure que les reproches sont efficaces et que les compliments ne le sont pas. Cette fiche montre qu'un phénomène purement statistique suffit à expliquer ces deux observations.

L'idée en bref

Quand un résultat dépend en partie du hasard, un résultat extrême est le plus souvent suivi d'un résultat plus proche de la moyenne. Ce n'est pas l'effet d'une cause particulière. Un résultat extrême réunit en général un bon ou un mauvais niveau et une bonne ou une mauvaise part de chance. La fois suivante, le niveau est toujours là, mais la chance a toutes les raisons d'être plus ordinaire.

Le phénomène a été décrit par le savant anglais Francis Galton dans un article de 1886 sur la taille des parents et de leurs enfants. Il constate que les parents très grands ont des enfants grands, mais en moyenne moins grands qu'eux, et que les parents très petits ont des enfants petits, mais en moyenne moins petits qu'eux. Dans ses données, l'écart des enfants à la moyenne valait environ les deux tiers de celui de leurs parents. Galton parle de « régression vers la médiocrité », au sens ancien de « moyenne ».

La régression vers la moyenne est un fait mathématique : elle se produit dès que deux mesures ne sont pas parfaitement liées. Elle est donc aussi solide qu'elle est méconnue.

Le niveau reste, la chance ne se répète pas

Pour bien voir le mécanisme, le plus simple est de prendre un cas où la chance fait tout.

Dans la réalité, un résultat mélange le niveau et la chance. Une note d'examen dépend de ce que l'élève sait, mais aussi du sujet tombé, de sa forme ce jour-là et de la sévérité du correcteur. Parmi les meilleures copies d'un contrôle, on trouve donc surtout de bons élèves qui ont aussi eu un peu de chance. Au contrôle suivant, ils restent bons, mais en moyenne un peu moins haut. Le raisonnement symétrique vaut pour les plus mauvaises copies. Plus la part de chance est grande, plus la régression est forte.

Daniel Kahneman raconte comment il a compris l'importance de cette idée en formant des instructeurs de l'armée de l'air israélienne. L'un d'eux lui objecta que féliciter un élève pilote après une belle manœuvre était suivi d'une manœuvre moins bonne, tandis que le réprimander après une manœuvre ratée était suivi d'un progrès. L'observation était exacte, mais l'interprétation était fausse : une manœuvre exceptionnelle est suivie, le plus souvent, d'une manœuvre plus ordinaire, quoi que dise l'instructeur. Kahneman en tire une remarque : parce que nous récompensons après un succès et punissons après un échec, la régression nous donne l'impression trompeuse que la punition marche mieux que la récompense.

Le remède pris au pire moment

La santé est l'autre grand terrain de la régression vers la moyenne, parce que beaucoup de maux varient d'un jour à l'autre.

C'est l'une des raisons pour lesquelles on évalue un médicament en comparant deux groupes de patients tirés au sort, dont l'un reçoit le traitement et l'autre non. Les deux groupes régressent de la même façon vers la moyenne. Seule la différence entre eux mesure l'effet propre du traitement.

Le même mécanisme se retrouve ailleurs. Une classe signalée pour ses résultats très faibles reçoit un dispositif d'aide, et ses résultats remontent l'année suivante. Un carrefour équipé d'un radar après une année noire compte ensuite moins d'accidents. Dans les deux cas, une partie de l'amélioration se serait produite sans rien faire, puisque l'on a choisi d'intervenir là où les chiffres étaient au plus bas.

Quand s'en servir

Il faut penser à la régression vers la moyenne chaque fois que l'on compare un « avant » et un « après », et que l'« avant » a été choisi parce qu'il était extrême.

• Après une note, une vente ou une performance sportive exceptionnelle, attendez-vous à un résultat suivant plus ordinaire, et n'y cherchez pas trop vite une explication.
• Avant de juger l'effet d'une sanction, d'un encouragement, d'un remède ou d'une réforme, demandez-vous ce qui se serait passé sans rien faire.
• Pour évaluer une personne, préférez plusieurs mesures à une seule : la moyenne de cinq contrôles renseigne mieux sur le niveau qu'un contrôle brillant ou raté.

Limites et pièges

La régression vers la moyenne est une tendance moyenne, pas une certitude pour chaque cas. Certains champions du premier essai refont un excellent score. Elle ne dit pas non plus que tout le monde finit par se ressembler : la dispersion de l'ensemble reste la même d'une fois sur l'autre, ce sont les individus qui changent de place.

Il ne faut pas la confondre avec l'idée fausse d'une compensation. Une pièce qui vient de tomber cinq fois sur face n'a pas plus de chances de tomber sur pile au sixième lancer. La régression ne « corrige » rien : elle dit seulement que le prochain résultat sera probablement ordinaire, parce que les résultats ordinaires sont les plus fréquents.

Elle ne s'applique pas quand le résultat extrême traduit un vrai changement. Un élève qui a comblé ses lacunes pendant l'été ne retombera pas à son ancien niveau. Tout expliquer par la régression serait une erreur aussi grande que de l'ignorer : la moyenne vers laquelle on régresse est celle de la personne, et cette moyenne peut évoluer.

Enfin, la régression ne prouve pas qu'une intervention est inutile. Elle montre seulement qu'une comparaison avant-après ne permet pas de conclure. Pour le savoir, il faut un groupe de comparaison.