Sciences et mathématiques

Les intérêts composés

Placez 10 000 € à 5 % par an et n'y touchez plus. Au bout de quarante ans, vous n'aurez pas 30 000 €, comme le suggère un calcul rapide, mais plus de 70 000 €. La différence vient des intérêts composés, c'est-à-dire des intérêts qui rapportent eux-mêmes des intérêts. Cette fiche montre le calcul, la règle qui permet de l'estimer de tête, puis ses transpositions et leurs limites.

L'idée en bref

On parle d'intérêts simples quand les intérêts sont calculés chaque année sur la seule somme de départ. On parle d'intérêts composés quand les intérêts de chaque année s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts l'année suivante. La formule est la suivante : capital final = capital de départ × (1 + taux)ⁿ, où n est le nombre d'années.

Le principe est connu depuis l'Antiquité et n'a pas d'inventeur. Le mathématicien italien Luca Pacioli mentionne déjà, dans sa Summa de arithmetica (1494), la règle qui permet d'estimer le temps de doublement d'une somme. En 1683, Jacob Bernoulli, en étudiant des intérêts composés de plus en plus souvent dans l'année, rencontre le nombre que l'on appellera e, l'une des constantes fondamentales des mathématiques.

Une phrase très répandue, qui fait des intérêts composés « la huitième merveille du monde » ou « la force la plus puissante de l'univers », est attribuée à Albert Einstein. Aucune source ne permet de la lui rattacher, et elle doit être tenue pour apocryphe. Le calcul, lui, est un résultat mathématique exact. Son application à l'apprentissage ou aux habitudes est une analogie.

Le calcul, année après année

La première année, 10 000 € à 5 % rapportent 500 €. La deuxième année, les 5 % portent sur 10 500 € et rapportent 525 €. L'écart de 25 € paraît négligeable. Il grandit pourtant chaque année, parce que la base de calcul grandit elle aussi.

Voici la valeur de 10 000 € placés à 5 % par an, sans retrait :

après 10 ans : 10 000 × 1,05¹⁰ ≈ 16 289 € ;
après 20 ans : 10 000 × 1,05²⁰ ≈ 26 533 € ;
après 30 ans : 10 000 × 1,05³⁰ ≈ 43 219 € ;
après 40 ans : 10 000 × 1,05⁴⁰ ≈ 70 400 €.

Avec des intérêts simples, on aurait eu 10 000 + 40 × 500 = 30 000 € au bout de quarante ans. La composition fait donc plus que doubler le résultat. Regardez aussi les écarts : la somme gagne environ 6 300 € pendant les dix premières années et environ 27 200 € pendant les dix dernières. L'essentiel du gain arrive à la fin, ce qui explique que la durée compte plus que tout.

Camille place 10 000 € à 25 ans, et Louis place la même somme à 45 ans. À 65 ans, Camille dispose d'environ 70 400 € et Louis d'environ 26 533 €. La différence entre eux tient aux vingt années pendant lesquelles la somme de Louis n'a pas été placée.

Pour estimer ces chiffres de tête, on utilise la règle de 72 : le nombre d'années nécessaires pour doubler une somme vaut à peu près 72 divisé par le taux en pourcentage. À 5 %, il faut 72 ÷ 5 = 14,4 ans, et le calcul exact donne 14,2 ans. À 3 %, il faut 24 ans. La règle est une approximation, bonne pour les taux courants et moins précise pour les taux élevés.

Le même mécanisme joue contre vous

Les intérêts composés n'ont pas de camp. Ils servent l'épargnant et ils desservent l'emprunteur, exactement de la même façon.

Une dette de 1 000 € sur un crédit renouvelable à 20 % par an, si l'on ne rembourse rien, devient 1 000 × 1,2⁴ = 2 073,60 € en quatre ans. Elle a doublé. La règle de 72 annonçait un doublement en 72 ÷ 20 = 3,6 ans, alors que le calcul exact donne 3,8 ans : on voit ici que la règle perd en précision quand le taux est élevé.

L'inflation et les frais agissent de la même manière. Avec une hausse des prix de 2 % par an, les prix doublent en 35 ans environ (1,02³⁵ ≈ 2,00), et un billet gardé dans un tiroir perd donc la moitié de son pouvoir d'achat. Des frais annuels de 1 % semblent minimes, mais sur quarante ans, 10 000 € placés à 7 % deviennent environ 149 700 €, contre environ 102 900 € à 6 %. Un point de frais a coûté près d'un tiers du capital final.

Quand s'en servir

Le modèle sert d'abord pour toute décision d'argent qui engage plusieurs années : épargne, emprunt, frais de gestion et retraite. Quelques questions suffisent :

Sur quelle durée ce taux va-t-il s'appliquer ?
En combien de temps la somme double-t-elle, d'après la règle de 72 ?
Les gains sont-ils réinvestis, ou retirés au fur et à mesure ?
Quels taux jouent contre moi : intérêts d'un crédit, frais et inflation ?

On l'emploie aussi, par analogie, pour les connaissances. Ce que vous savez déjà vous aide à apprendre la suite : un élève qui lit bien lit davantage, enrichit son vocabulaire et comprend mieux les textes suivants. Le psychologue Keith Stanovich a décrit ce phénomène en 1986 pour la lecture, sous le nom d'« effet Matthieu ». Les premières années comptent donc beaucoup, et un petit travail régulier vaut mieux qu'un grand effort tardif.

Limites et pièges

La formule est exacte, mais ses hypothèses sont rarement réunies. Aucun placement ne garantit un taux constant pendant quarante ans. Les rendements réels varient, et une année de forte perte pèse lourd : après une baisse de 50 %, il faut une hausse de 100 % pour revenir au point de départ. Les calculs doivent aussi se faire après inflation, frais et impôts. Les tableaux séduisants à 8 ou 10 % par an reposent sur des taux que personne ne peut promettre.

L'analogie avec les habitudes demande encore plus de prudence. On lit souvent qu'en s'améliorant de 1 % par jour on devient 37 fois meilleur en un an. Le calcul est juste (1,01³⁶⁵ ≈ 37,8), et James Clear l'a popularisé dans Atomic Habits (2018). C'est une image, pas une mesure : personne ne sait ce que signifie « 1 % meilleur » en piano ou en orthographe, et les progrès réels ne se composent pas indéfiniment. Ils ralentissent, connaissent des plateaux, et les savoirs non entretenus s'oublient.

Enfin, la composition suppose de rester dans le jeu. Un investisseur ruiné ne compose plus rien, et un élève qui abandonne non plus. La patience que réclame le modèle n'a de sens que si l'on évite les pertes irréparables.

Pour aller plus loin

La croissance exponentielle — la forme générale du phénomène, et pourquoi notre intuition la sous-estime.
Les boucles de rétroaction — les intérêts composés sont une boucle qui se renforce elle-même.
Le kaizen et les gains marginaux — les petites améliorations qui s'accumulent, et ce qu'il faut en attendre.
L'ergodicité et le risque de ruine — pourquoi il faut d'abord rester dans le jeu.

Sources principales : Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (1494) ; Jacob Bernoulli, travaux de 1683 sur les intérêts composés ; Keith Stanovich, « Matthew Effects in Reading », Reading Research Quarterly (1986) ; James Clear, Atomic Habits (2018) ; Eli Maor, e: The Story of a Number (1994).