Sciences et mathématiques
La croissance exponentielle
Un nénuphar double de surface chaque jour et recouvre tout un étang en trente jours. Quel jour en couvrait-il la moitié ? La réponse est le vingt-neuvième, et non le quinzième. Cette vieille devinette résume la difficulté : notre intuition raisonne par additions, alors que certaines grandeurs avancent par multiplications. Cette fiche explique ce qu'est une croissance exponentielle et comment ne plus se laisser surprendre.
L'idée en bref
Une grandeur croît de façon linéaire quand elle augmente de la même quantité à chaque période : 10, 20, 30 et 40. Elle croît de façon exponentielle quand elle est multipliée par le même facteur à chaque période : 10, 20, 40 et 80. Dans le second cas, l'augmentation est proportionnelle à ce qui existe déjà, si bien que plus la grandeur est élevée, plus elle augmente vite. Il s'agit d'une notion mathématique exacte.
Le langage courant emploie « exponentiel » pour dire « très rapide », ce qui est un contresens. Une croissance exponentielle peut être très lente au début. Ce qui la définit est le temps de doublement constant, pas la vitesse.
La notion s'est construite au fil des siècles. Thomas Malthus l'a rendue célèbre en 1798 en opposant une population qui croîtrait en progression géométrique à des ressources qui croîtraient en progression arithmétique. Les psychologues ont ensuite montré que nous prolongeons spontanément les courbes en ligne droite : William Wagenaar et Sabato Sagaria ont décrit cette sous-estimation dès 1975, et on parle aujourd'hui de biais de croissance exponentielle.
Ce que font les doublements
Le moyen le plus sûr de se représenter une exponentielle est de compter les doublements. Dix doublements multiplient par 1 024, soit environ mille. Vingt doublements multiplient par environ un million, et trente par environ un milliard.
Pour passer d'un taux de croissance à un temps de doublement, on utilise la règle de 70 : le temps de doublement vaut environ 70 divisé par le taux en pourcentage. Une grandeur qui croît de 7 % par an double en 10 ans, et une grandeur qui croît de 2 % par an double en 35 ans. Pour les intérêts composés, on emploie souvent 72, plus commode à diviser.
Épidémies : pourquoi l'on réagit trop tard
Le début d'une épidémie est l'exemple le plus concret de croissance à peu près exponentielle : tant que presque tout le monde peut être contaminé, chaque malade contamine en moyenne un nombre constant de personnes, et le nombre de cas est multiplié par un même facteur à intervalles réguliers.
Le même mécanisme se retrouve dans la diffusion d'une rumeur, dans une dette qui s'accumule ou dans une population de bactéries dans un aliment oublié hors du réfrigérateur. Dans tous ces cas, la période où « il ne se passe presque rien » fait partie de la courbe, et c'est pendant cette période qu'il est le plus facile d'agir.
Quand s'en servir
Pensez à ce modèle dès qu'une grandeur augmente en proportion de sa propre taille : un capital, une dette, une contagion, une population ou une audience. Les questions utiles sont les suivantes :
- La grandeur augmente-t-elle d'une quantité fixe, ou d'un pourcentage fixe ?
- Quel est son temps de doublement ?
- Combien de doublements reste-t-il avant une limite, par exemple la capacité d'un hôpital ou le plafond d'un budget ?
- Qu'est-ce qui finira par freiner cette croissance ?
Limites et pièges
La limite principale est qu'aucune croissance exponentielle ne dure dans le monde réel. Le nénuphar s'arrête au bord de l'étang, et l'épidémie ralentit quand les personnes à contaminer se font rares ou que les comportements changent. Le mathématicien belge Pierre-François Verhulst a proposé dès 1838 la courbe logistique, en forme de S, qui décrit une croissance d'abord exponentielle, puis freinée, puis plafonnée. Prolonger une exponentielle sur une longue durée conduit donc à des prévisions absurdes, et beaucoup d'annonces catastrophistes ou enthousiastes reposent sur cette erreur. La prédiction de Malthus elle-même ne s'est pas réalisée telle quelle, car la production agricole a progressé bien plus vite qu'il ne le pensait.
Le deuxième piège est inverse : voir de l'exponentiel partout. Quelques points qui montent ne suffisent pas à établir une loi, et le début d'une courbe en S, d'une exponentielle ou d'une simple accélération passagère se ressemblent beaucoup. La loi de Moore, formulée par Gordon Moore en 1965 puis révisée en 1975, selon laquelle le nombre de transistors d'une puce double environ tous les deux ans, est une observation empirique qui a tenu plusieurs décennies. Ce n'est pas une loi de la nature, et son ralentissement est discuté depuis des années.
Enfin, connaître le biais ne suffit pas à le corriger. Les études montrent que même des personnes instruites sous-estiment une croissance exponentielle quand elles l'évaluent à vue. Le remède fiable est de poser le calcul.
Pour aller plus loin
- Les intérêts composés — la croissance exponentielle appliquée à l'argent, avec la règle de 72.
- Les boucles de rétroaction — la boucle qui se renforce produit l'exponentielle, la boucle qui stabilise l'arrête.
- La masse critique et le point de bascule — le moment où une diffusion s'entretient toute seule.
- Les rendements décroissants — le phénomène inverse, quand chaque pas rapporte moins que le précédent.
Sources principales : Thomas Malthus, Essai sur le principe de population (1798) ; Pierre-François Verhulst, « Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement » (1838) ; William Wagenaar et Sabato Sagaria, « Misperception of Exponential Growth », Perception & Psychophysics (1975) ; Victor Stango et Jonathan Zinman, « Exponential Growth Bias and Household Finance », Journal of Finance (2009) ; Donella Meadows et al., Halte à la croissance ? (1972).