Sciences et mathématiques

Les rendements décroissants

La première heure de révision avant un contrôle fait gagner beaucoup de points, et la cinquième, prise sur la nuit, n'en fait presque plus gagner. Les économistes ont décrit ce phénomène il y a plus de deux siècles à propos des champs de blé. Cette fiche explique la loi des rendements décroissants, la façon de s'en servir pour décider quand s'arrêter, et les cas où elle ne s'applique pas.

L'idée en bref

La loi des rendements décroissants dit ceci : quand on augmente un seul facteur de production en laissant les autres inchangés, il arrive un point à partir duquel chaque unité ajoutée rapporte moins que la précédente. Le résultat total continue d'augmenter, mais de moins en moins vite. Ce que rapporte la dernière unité ajoutée s'appelle le rendement marginal.

L'idée a été formulée par Turgot, économiste et ministre de Louis XVI, dans un texte rédigé vers 1767-1768 à propos de l'agriculture : en ajoutant des avances sur une même terre, le produit augmente d'abord rapidement, puis de plus en plus faiblement. Elle a été développée vers 1815 par plusieurs économistes britanniques, dont Thomas Malthus, Edward West et David Ricardo, qui en a fait une pièce maîtresse de ses Principes de l'économie politique et de l'impôt (1817).

En économie, c'est une régularité empirique bien établie, valable sous une condition précise : les autres facteurs et la technique restent fixes. Son application aux études, au sport ou au travail intellectuel est une transposition raisonnable, qui se vérifie souvent, mais pas toujours.

Le champ, l'engrais et la dernière dose

L'exemple fondateur est agricole. Sur une surface donnée, on peut ajouter de l'engrais, du travail ou de l'eau. Tant que la terre manque de ces apports, chacun d'eux produit beaucoup. Mais la surface, elle, ne change pas, et elle finit par limiter ce que les apports supplémentaires peuvent donner.

Voici des chiffres inventés pour l'illustration, mais de forme réaliste. Un hectare de blé donne 30 quintaux sans engrais. L'agricultrice ajoute de l'engrais par doses successives de 50 kg :

avec 1 dose : 45 quintaux, soit 15 de plus ;
avec 2 doses : 55 quintaux, soit 10 de plus ;
avec 3 doses : 60 quintaux, soit 5 de plus ;
avec 4 doses : 61 quintaux, soit 1 de plus ;
avec 5 doses : 59 quintaux, soit 2 de moins.

Le rendement total monte jusqu'à la quatrième dose, mais le rendement marginal baisse dès la deuxième : 15, puis 10, puis 5, puis 1. La bonne question n'est donc pas « l'engrais est-il utile ? », mais « la prochaine dose rapporte-t-elle plus qu'elle ne coûte ? ». Si une dose coûte l'équivalent de 3 quintaux de blé, l'agricultrice a intérêt à s'arrêter à la troisième, qui en rapporte 5, et non à la quatrième, qui n'en rapporte qu'un. À la cinquième dose, l'excès d'engrais abîme la culture et le total recule, ce que l'on appelle des rendements négatifs.

Trois zones se distinguent ainsi : celle où chaque ajout rapporte beaucoup, celle où il rapporte encore mais de moins en moins, et celle où il nuit. La plupart des décisions intéressantes se prennent dans la deuxième zone, et elles se prennent « à la marge », en comparant le gain de la prochaine unité à son coût.

Réviser, s'entraîner et travailler à plusieurs

Le même schéma apparaît dans des domaines sans rapport avec l'agriculture, chaque fois qu'un facteur reste fixe pendant que l'on augmente un autre. Pour un élève, le facteur fixe est sa capacité d'attention dans une journée.

Théo a un contrôle de physique demain et se demande combien de temps réviser. Supposons, pour fixer les idées, que sans révision il obtienne 8 sur 20, puis 12 avec une heure, 14 avec deux heures, 15 avec trois heures et 15,5 avec quatre heures. Les heures successives lui rapportent 4 points, puis 2, puis 1, puis un demi-point. S'il prend une cinquième heure sur son sommeil, il arrivera fatigué et sa note risque de baisser.

Théo a aussi un contrôle d'anglais après-demain, qu'il n'a pas commencé à préparer. La troisième heure de physique lui rapporterait 1 point, alors qu'une première heure d'anglais lui en rapporterait sans doute plusieurs. Répartir son temps entre les deux matières est plus efficace que de tout donner à une seule, et étaler les séances sur plusieurs jours l'est encore davantage, comme le montrent les recherches sur la répétition espacée.

Le travail en équipe en fournit une version connue des informaticiens. Dans The Mythical Man-Month (1975), Fred Brooks observe qu'ajouter des personnes à un projet logiciel en retard le retarde encore. Les nouveaux venus doivent être formés par ceux qui produisaient, et le nombre de relations à entretenir croît beaucoup plus vite que l'effectif : quatre personnes forment 6 paires possibles, et huit personnes en forment 28. Chaque recrue ajoute moins de travail utile que la précédente, et peut même en retirer.

Quand s'en servir

Le modèle sert à décider du moment où il faut s'arrêter, ou déplacer son effort. Il s'applique à la relecture d'un texte, à la préparation d'un cours, à l'entraînement sportif et aux dépenses d'un budget. Les questions à se poser sont les suivantes :

Que m'a rapporté la dernière heure, ou le dernier euro, par rapport à la précédente ?
Quel est le facteur qui reste fixe et qui limite le résultat : l'attention, la surface, le temps ou une personne indispensable ?
La même heure rapporterait-elle davantage ailleurs ?
Suis-je encore dans la zone où l'ajout aide, ou déjà dans celle où il nuit ?

Limites et pièges

La loi ne vaut que si le reste ne change pas. Ricardo et Malthus en avaient tiré des prévisions sombres pour l'agriculture, que l'histoire a démenties : les machines, la sélection des plantes et les engrais de synthèse ont transformé la technique, et les rendements à l'hectare ont été multipliés. Un progrès de méthode déplace toute la courbe vers le haut.

Les rendements ne sont pas non plus décroissants dès le départ. Beaucoup d'activités commencent par une phase de rendements croissants, où les premiers efforts rapportent peu et où chaque heure rapporte ensuite plus que la précédente : il faut un certain nombre de mots pour qu'une langue devienne utilisable, et un certain nombre d'utilisateurs pour qu'un réseau ait de la valeur. S'arrêter dans cette phase au nom des rendements décroissants serait une erreur.

Enfin, un rendement marginal faible n'est pas toujours négligeable. Dans une compétition, un examen sélectif ou une question de sécurité, le dernier demi-point ou le dernier contrôle peut tout décider. Il ne faut pas confondre cette loi avec deux notions voisines : l'utilité marginale décroissante, qui porte sur la satisfaction du consommateur, et les économies d'échelle, qui décrivent ce qui arrive quand tous les facteurs augmentent ensemble.

Pour aller plus loin

L'utilité marginale — le raisonnement « à la marge » appliqué à la satisfaction.
Les économies d'échelle — ce qui change quand tous les facteurs augmentent ensemble.
Le principe de Pareto et les lois de puissance — une autre façon de voir que tous les efforts ne se valent pas.
La courbe d'apprentissage et le plateau — pourquoi les progrès ralentissent, et quoi faire alors.

Sources principales : Anne Robert Jacques Turgot, Observations sur le mémoire de M. de Saint-Péravy (vers 1767-1768) ; David Ricardo, Des principes de l'économie politique et de l'impôt (1817) ; Edward West, Essay on the Application of Capital to Land (1815) ; Fred Brooks, The Mythical Man-Month (1975) ; Paul Samuelson et William Nordhaus, Économie (manuel de référence, nombreuses éditions).