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L'inversion

Demandez à un groupe de parents comment réussir la soirée des devoirs, et vous obtiendrez des réponses vagues. La question inverse, comment la rater à coup sûr, donne une liste longue et précise. L'inversion exploite cette différence, car il est souvent plus facile de voir ce qui fait échouer que ce qui fait réussir. Cette fiche montre comment s'en servir, en mathématiques comme dans la vie courante.

L'idée en bref

L'inversion consiste à prendre un problème par l'autre bout. Au lieu de chercher comment atteindre un but, on cherche ce qui garantirait l'échec, puis on s'applique à l'éviter. Au lieu de se demander comment prouver une idée, on suppose qu'elle est fausse et l'on regarde ce qui s'ensuit.

On rattache d'ordinaire cette méthode au mathématicien allemand Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), à qui l'on prête la maxime « il faut toujours inverser » (man muss immer umkehren). Il l'aurait donnée à ses étudiants comme conseil de recherche, pour tirer des questions nouvelles de résultats connus, et elle nous est parvenue par des témoignages plutôt que par ses écrits. Les mathématiciens pratiquaient de toute façon l'inversion depuis l'Antiquité, avec la démonstration par l'absurde.

Charlie Munger en a fait un principe de vie. En 1986, invité à prononcer le discours de fin d'année de la Harvard School de Los Angeles, il choisit de donner aux élèves, en reprenant une idée de l'animateur Johnny Carson, ses recettes pour une vie misérable : ne pas être fiable, n'apprendre que de sa propre expérience, et quelques autres. Il aimait aussi citer la plaisanterie du paysan qui voudrait seulement savoir où il mourra, afin de ne jamais y aller. Les stoïciens recommandaient déjà un exercice voisin, qui consiste à se représenter d'avance les malheurs possibles pour s'y préparer.

Pourquoi il est plus facile de chercher l'échec

La réussite dépend en général de nombreuses conditions réunies, dont plusieurs nous échappent. L'échec n'a besoin que d'une cause, et les causes d'échec les plus fréquentes sont connues. Éviter les grosses erreurs est donc souvent plus accessible, et plus payant, que viser l'excellence.

L'inversion aide aussi parce qu'elle change de point de vue. Notre esprit cherche spontanément ce qui confirme son plan. La question inversée l'oblige à chercher les objections, ce qui en fait un remède simple au biais de confirmation.

Le détour par le contraire en mathématiques

Chez les mathématiciens, l'inversion est une technique exacte, qui prend deux formes.

La première est la démonstration par l'absurde. Pour prouver qu'une affirmation est vraie, on suppose qu'elle est fausse et l'on montre que cette supposition mène à une contradiction. On démontre ainsi depuis les Grecs qu'il n'existe pas de plus grand nombre premier ou que la racine carrée de 2 ne peut pas s'écrire comme une fraction.

La seconde est le passage par l'événement contraire en probabilités. Quand la probabilité d'un événement est difficile à calculer directement, celle de son contraire est parfois immédiate.

La réponse « au moins un » se calcule presque toujours par ce détour. C'est un cas où l'inversion donne un résultat démontré, alors que dans la vie courante elle reste une façon de se poser des questions.

Quand s'en servir

L'inversion est utile quand un objectif est flou, comme « réussir son année » ou « avoir une bonne équipe », quand un projet est sur le point d'être lancé, et quand un problème abordé de face ne donne rien. Elle se pratique avec quelques questions.

• Que faudrait-il faire pour être certain d'échouer ?
• Parmi ces causes d'échec, lesquelles sont déjà présentes ?
• Si mon idée était fausse, à quoi le verrais-je ?
• Que dois-je cesser de faire avant de chercher quoi ajouter ?

Limites et pièges

L'inversion est une heuristique, c'est-à-dire une règle pratique pour chercher. En dehors des mathématiques, elle ne démontre rien, et son efficacité comme méthode générale n'a guère été mesurée. La technique voisine du pré-mortem, proposée par le psychologue Gary Klein, s'appuie sur une étude de 1989 consacrée au fait d'imaginer un événement comme déjà survenu.

Éviter l'échec ne suffit pas à réussir. Une soirée de devoirs sans dispute n'est pas encore une soirée où l'enfant apprend, et une entreprise qui ne commet aucune erreur grave peut rester médiocre. L'inversion fixe un minimum, et il faut ensuite un projet positif que la question inversée ne fournit pas.

La liste des causes d'échec est limitée par l'imagination et par l'expérience de celui qui la dresse. On y trouve les échecs que l'on connaît déjà, et rarement ceux que l'on n'a jamais vus. La dresser à plusieurs, avec des personnes d'expériences différentes, l'améliore.

Enfin, l'exercice peut tourner à l'inquiétude. Passer en revue tout ce qui peut mal tourner aide à se préparer, à condition de s'arrêter une fois les principales causes traitées et de ne pas en tirer une raison de ne rien entreprendre.