Sciences et mathématiques
L'estimation de Fermi et les ordres de grandeur
Combien y a-t-il d'accordeurs de piano à Chicago ? La question semble impossible sans annuaire, et pourtant quelques hypothèses raisonnables et quatre multiplications donnent une réponse du bon ordre de grandeur. Cette fiche présente la méthode du physicien Enrico Fermi, qui permet de chiffrer à la louche presque n'importe quoi et de repérer les chiffres absurdes.
L'idée en bref
Une estimation de Fermi consiste à répondre à une question chiffrée difficile en la décomposant en plusieurs quantités plus faciles à évaluer, puis en les multipliant. On ne cherche pas la valeur exacte. On cherche l'ordre de grandeur, c'est-à-dire la puissance de dix la plus proche : s'agit-il de dizaines, de milliers ou de millions ?
La méthode porte le nom d'Enrico Fermi (1901-1954), physicien italien naturalisé américain et prix Nobel de physique en 1938, réputé pour ses calculs rapides et ses approximations justes. Il aimait poser des questions de ce genre, et celle des accordeurs de piano de Chicago, ville où il a enseigné, lui est traditionnellement associée. L'épisode le plus souvent cité date du 16 juillet 1945, lors du premier essai nucléaire, baptisé Trinity. D'après son propre compte rendu, Fermi laissa tomber des morceaux de papier au passage du souffle, mesura leur déplacement, d'environ deux mètres et demi, et en déduisit une puissance d'environ 10 000 tonnes de TNT. Les évaluations ultérieures ont donné environ 21 000 tonnes, soit à peu près le double : l'estimation, faite avec des bouts de papier, était du bon ordre de grandeur.
La méthode relève du savoir-faire plus que du théorème. Sa justification est en partie statistique, et son efficacité dépend de la qualité des hypothèses.
La méthode, pas à pas
La démarche tient en quatre étapes : décomposer la question en facteurs, donner à chacun une valeur ronde et plausible, multiplier, puis juger si le résultat est vraisemblable.
La méthode fonctionne mieux qu'on ne s'y attend pour une raison simple. Quand on multiplie plusieurs estimations indépendantes, certaines sont trop hautes et d'autres trop basses, et les erreurs se compensent en partie. Elles ne s'annulent pas, mais il est peu probable qu'elles aillent toutes dans le même sens. La décomposition a un autre mérite : elle montre sur quelle hypothèse repose le résultat, et donc ce qu'il faudrait vérifier en premier.
Vérifier un chiffre que l'on vous donne
Au quotidien, la méthode sert surtout à contrôler un chiffre que l'on vous donne. Un calcul d'ordre de grandeur dit en trente secondes si un résultat annoncé est plausible.
À l'école, cet exercice a une vertu particulière. Un élève qui trouve qu'une voiture roule à 4 000 km/h ou qu'un stylo pèse 3 tonnes a fait une erreur de calcul qu'une estimation préalable aurait révélée. Demander « à peu près combien attends-tu ? » avant de poser l'opération est l'une des habitudes les plus rentables en mathématiques et en sciences.
Quand s'en servir
La méthode est utile avant un calcul précis, pour savoir ce que l'on doit trouver, ou à la place d'un calcul précis, quand les données manquent ou que la décision n'exige pas mieux. Elle convient pour évaluer un budget, la taille d'un marché, la durée d'un chantier ou la vraisemblance d'une statistique lue dans la presse. Les questions à se poser sont les suivantes :
- En quels facteurs simples puis-je décomposer cette quantité ?
- Pour chaque facteur, quelle valeur ronde me paraît raisonnable ?
- Le résultat est-il vraisemblable quand je le compare à ce que je connais ?
- La décision changerait-elle si le vrai chiffre était trois fois plus grand ou trois fois plus petit ?
Limites et pièges
Une estimation de Fermi donne un ordre de grandeur, rarement mieux. Présenter le résultat avec trois chiffres significatifs, par exemple « 11 232 heures », donne une illusion de précision : il faut dire « environ 11 000 ». Elle ne remplace pas la mesure quand la mesure est possible, et une erreur d'un facteur trois peut être sans importance pour une curiosité mais grave pour un budget ou une dose de médicament.
La compensation des erreurs n'est pas garantie. Elle suppose que les erreurs soient indépendantes. Si toutes vos hypothèses penchent du même côté, par optimisme ou parce qu'un chiffre entendu auparavant vous a influencé, le résultat sera biaisé dans ce sens. Un facteur oublié fausse aussi tout le calcul, sans que rien ne le signale.
Enfin, la méthode s'effondre quand un facteur est réellement inconnu. L'équation proposée par l'astronome Frank Drake en 1961 pour estimer le nombre de civilisations capables de communiquer dans notre galaxie a la forme d'une estimation de Fermi, mais plusieurs de ses facteurs peuvent varier de nombreux ordres de grandeur, si bien que le résultat va de presque zéro à des millions. Dans ce cas, la décomposition reste utile pour savoir ce que l'on ignore, mais elle ne fournit pas de réponse. Philip Tetlock et Dan Gardner recommandent d'ailleurs cette décomposition dans Superforecasting (2015), parmi d'autres conseils pour mieux prévoir, ce qui en fait un point de départ plutôt qu'une réponse définitive.
Pour aller plus loin
- Le raisonnement par premiers principes — décomposer un problème jusqu'à des éléments que l'on connaît.
- La pensée probabiliste — raisonner avec des fourchettes plutôt qu'avec des certitudes.
- La croissance exponentielle — un domaine où compter les ordres de grandeur corrige l'intuition.
- L'ancrage — comment un premier chiffre entendu peut fausser une estimation.
Sources principales : Enrico Fermi, « My Observations During the Explosion at Trinity on July 16, 1945 » (compte rendu de 1945, archives de Los Alamos) ; Lawrence Weinstein et John Adam, Guesstimation: Solving the World's Problems on the Back of a Cocktail Napkin (2008) ; Sanjoy Mahajan, Street-Fighting Mathematics (2010) ; Philip Tetlock et Dan Gardner, Superforecasting (2015).